תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII"

Transcript

1 תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII עמית קני ארנון בנטור

2 NATIONAL BUILDING RESEARCH INSTITUTE המכון הלאומי לחקר הבנייה משרד הבינוי והשיכון מיסודם של Founded by MINISTRY OF CONSTRUCTION AND HOUSING הטכניון מכון טכנולוגי לישראל TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY הפקולטה להנדסה אזרחית וסביבתית Faculty of Civil & Environmental Engineering תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII ד"ר עמית קני פרופ' ארנון בנטור הוזמן על ידי מנהלת אפר הפחם מס' הזמנה Copyright by A. Kenny and A. Bentur The National Coal Ash Board and The Technion Research and Development Foundation, Ltd, Haifa אדר ב' תשע"ד חיפה מרץ 0221

3 "למען הסר ספק מודגש בזאת כי החוקר/ים, מוסד הטכניון למחקר ופיתוח בע"מ והטכניון מכון טכנולוגי לישראל, אינם ולא יהיו אחראים לכל פגיעה ו/או נזק ו/או הוצאות ו/או הפסד, מכל סוג ומין, שנגרם או עלול להיגרם לרכוש ו/או לגוף, כתוצאה ישירה או עקיפה, למקבל הדו"ח ו/או לצד ג' כלשהו, עקב המחקר ו/או דו"ח זה או בהקשר אל מי מהם כמו גם בקשר ליישום האמור בו. מבלי לגרוע מן האמור לעיל, מובהר בזאת כי יישום תוצאות המחקר יהיה באחריותו הבלעדית של המיישם".

4 תוכן עניינים תקציר....1 מבוא רקע כללי תקינה סקירה עדכנית של הספרות מטרת המחקר מערכת הניסויים... 9 תוכנית המחקר חומרים תערובות ניסיון הרכב התערובות בדיקות תוצאות תכונות התערובות יעילות במדגמי מלט בדיקות תקניות חוזק ויעילות בבטון מקדם היעילות במלטים )בדיקת )EN 112 בהשוואה ליעילות הנמדדת בבטונים קצב התפתחות החוזק קיים ניתוח תוצאות של בדיקות תקניות מתמשכות שבוצען במעבדות בדיקה מסקנות רשימת ספרות Abstract

5 תקציר המחקר עוסק באפיון ההתנהגות של סוגים שונים של אפר פחם בבטונים העשויים מצמנט מסוג CEMI ו- CEMII במטרה לבחון את היעילות של אפר הפחם המשולב בבטון עצמו כמרכיב נפרד ולברר האם השימוש בצמנטים מעורבים מקטין את יעילות האפר בבטון. הניסויים כללו אפיון של תערובות בטון עם תכולות שונות של צמנט ותוספות של אפר פחם מרחף, וכן גם תכולות דומות לאפר של מלאן אבן גיר בעל פילוג חלקיקים דומה כדי לאפיין אפקטים כימיים ופיזיקליים )אפקט מלאן(. במקביל נבחנו גם תערובות מלט להגדרת אקטיביות פוצולנית כמקובל בתקנים. הבדיקות כללו חוזק ופרמטרים של קיים שנקבעו באמצעות מבחני חדירה למים ואוויר. המסקנות העיקריות: 1. לא נמצאה קורלציה ברורה בין האקטיבציה כפי שנקבעה בבדיקה התקנית במלט ובין האקטיבציה שהתקבלה בפועל בבטון. מדגם האפר שאופיין במקדם האקטיבציה הנמוך ביותר במלט היה אמנם החלש ביותר בבטון, אך ההבדלים בינו ובין האחרים בבדיקת המלט היו קטנים בעוד שבבטון הם היו גדולים. 2. תוצאות בדיקות תקניות במלט לא הראו באופן ברור יתרון למערכות עם צמנט CEM I וניתן אף לומר שהייתה אינדיקציה למגמה הפוכה. נראה על כן שההנחיה בתקן למקדם יעילות עבור CEM II בשיעור של חצי מ- )2.2 CEM I לעומת 2.0( איננה מבוססת ויש לבדוק כל מקרה לגופו. ניתוח התפתחות החוזק בבטונים עם אפר פחם מראה שכל מערכת ניתנת לאיפיון על יד שני פרמטרים, האחד הוא הזמן האופייני והשני הוא החוזק הסופי. באמצעות שני אלה ניתן לחשב את האקטיביות בבטון ואת השינויים בה על ציר הזמן. העדר קשרי גומלין ברורים בין האקטיביות התקנית במלטים ובין התפקוד בפועל בבטון ניתנת להסבר בכך שיש להביא בחשבון בנוסף לאפקט הפוצולני גם אפקט של מלאן אשר השפעתו שונה בבטונים ומלטים. אפקט זה קשור כנראה בפילוג גודל החלקיקים של הצמנט והאפר. המשמעויות של מסקנות אלה שהבדיקה התקנית של אקטיביות פוצולנית איננה מספקת לצורך חיזוי מדויק של התנהגות האפר בבטון וגם לא לחיזוי האינטראקציה בינו ובין צמנטים מסוג צמנט CEM I ו-,CEM II ויש צורך באפיון ישיר של ההתנהגות בבטון. פיתוח של בדיקות פשוטות ומהירות יותר שיאפשרו חיזוי על בסיס ההרכב הכימי והפיזיקלי של האפר מחייב כנראה הבנה טובה יותר של השפעת פילוג גודל החלקיקים של הצמנט והאפר בכל הקשור לאפקט מלאן. התוצאות בעבודה זו מאששות מסקנות של בדיקות קודמות המראות שניתן להפיק מאפר פחם יעילות בבטון מצמנט CEM II שאינה נופלת מזו המתקבלת במערכת צמנט.CEM I יש להניח שהדבר קשור באופטימיזציה של פילוג גודל החלקיקים. מבחינה מעשית פרוש הדבר שהחיסכון בקלינקר בצמנט על ידי תוספת מוספים מינרליים אינה חייבת בהכרח לפגוע באקטיביות של מוספים מינרליים המשולבים ישירות בבטון. בבטונים שנבדקו כאן, נמצא שללא תלות בהרכב אפר הפחם היה שיפור בהתנגדות לחדירה של אוויר ומים לתוך הבטון למרות האשפרה המוגבלת במים. שיפור זה משמעותו שהקיים של

6 בטונים אלה איננו פחות טוב מזה של בטונים מצמנט בלבד, למרות האשפרה המוגבלת. יש לציין שהאשפרה כאן היא אמנם מוגבלת, 7 ימים במים, אך זו האשפרה המינימלית הנדרשת על פי תקנים ומפרטים לביצוע בשטח. הקטנת משך האשפרה מתחת לזמן זה עלולה לגרום לפגיעה באכות הבטון עם אפר פחם מנקודת מבט של קיים ולכך יש סימוכין בעבודות קודמות.

7 1. מבוא 1.1 רקע כללי המגמה הבולטת היום בתחום תעשיית הצמנט והבטון הנה מעבר להרכבים המכילים כמות קטנה ככל האפשר של קלינקר מצמנט פורטלנד, וזאת תוצאה של שיקולים כלכליים ואקולוגיים. מגמה זו תלך ותגבר על ציר הזמן, וזאת כפועל יוצא של שיקולים סביבתיים אשר כבר היום באים לידי ביטוי באופן חלקי בחוקים ובתקנות בעלי "שיניים" כלכליות. המס על דו תחמוצת הפחמן הוא אולי הסנונית הראשונה, והוא עצמו כבר יצר טלטלה די רצינית בתעשיית הצמנט והבטון. הקטנת תכולת הקלינקר יכולה להתבצע בשתי צורות עיקריות, האחת בתעשיית הצמנט ע"י ייצור צמנטים מעורבים אשר תיפקודם דומה או אף עולה בהיבטים מסוימים על צמנט רגיל, או בתעשיית הבטון ע"י הכנת תערובות בטון אשר בהן התוסף המינראלי משולב כמרכיב נפרד בתערובת, ותכולת הצמנט מוקטנת. שתי הגישות מקובלות כיום, לכל אחת יתרונות וחסרונות והשימוש בהן תלוי בעיקר בזמינות של תוספים מינראליים בעלי איכות מתאימה ויציבה על ציר הזמן. בשתי צורות השימוש בתוספים מינראליים יש צורך במערכת מתקדמת של אבטחת איכות ואמינות וכן גם רמה מקצועית גבוהה של תהליך הייצור, כך שיתאפשרו בחירה ושימוש נכונים בתוספים מינראליים אשר איכותם וזמינותם עלולה להשתנות על ציר הזמן. היעילות של שתי הגישות להקטנת תכולת הקלינקר מגובה כיום על יד טכנולוגיות מתקדמות של מוספים משפרי עבידות. מוספים אלה יכולים לאפשר את ההקטנה במנת המים ובכך לפצות על אקטיביות כימית נמוכה יחסית ולאפשר השגת חוזק מתאים בגיל צעיר גם במערכות אשר בהן התרומה לחוזק של המרכיבים המינרליים באה לידי ביטוי רק בגילים מאוחרים יותר. למוספים הללו יכול להיות גם תפקיד נוסף והוא שפעול בעל אופי מכני של המרכיבים האינרטיים יותר במערכת הם מאפשרים פיזור טוב יותר של החלקיקים הדקים במערכת )שבדרך כלל כלולים במרכיבים של התוספים המינרליים( ומקנים להם אפקט מלאן )משמשים כ"מיקרו-אגרגט" משריין בעל כושר הדבקה גבוה למוצרי ההידרציה סביבו( או הוספת גרעיני נוקליאציה המשפרים את אחידות המערכת הצמנטית. את האפקט הזה ניתן לשלב גם בטכנולוגיות המתבססות על פילוג אופטימלי של החלקיקים הדקים במערכת: צמנט, תוספים מינרליים ומלאנים. לתעשיית הבטון והצמנט מודעות לאפקטים כאלה והדבר מוצא את ביטויו בארץ בשימוש במלאן אבן גיר, אותו ניתן לשלב בצמנט עצמו או בבטון באופן ישיר או בעקיפין דרך האבק באגרגט גרוס. לאור הפרגמנטציה האופיינית לתעשיית הבנייה, הסקטורים היצרניים השונים )יצרן הצמנט, ספק/יצרן תוספים מינרליים- בעיקר אפר פחם, ויצרן הבטון( מנסים כל אחד בתחומו להשיג אופטימיזציה כדי למנף את היעילות והערך המוסף של המוצר שלו, מבלי שיש תאום טכנולוגי על פני כל המשולש צמנט-תוספים מינרליים )אפר פחם(-מוספים כימיים. על רקע זה אנו עדים לשינויים משמעותיים בתעשיית הצמנט הבאה לידי ביטוי בהחדרה מסיבית של השימוש בצמנטים מעורבים מסוגים שונים. בשלב זה מדובר בעיקר בצמנטים עם תכולות של עד 02% תוספים מינרליים )בעיקר מסוג )CEMII ויש כבר היערכות לצמנטים עם תכולות גבוהות יותר. במקביל, לא נערכה בחינה מעמיקה של מדת היעילות של אפר פחם אותו מוסיפים לבטון העשוי מצמנט מעורב. ההנחה הרווחת שהיעילות תקטן איננה בהכרח נכונה, כפי שמסתבר בתוצאות של מחקרים שנערכו לאחרונה. על רקע זה נוצר צורך לבדוק בצורה שיטתית את היעילות של אפר הפחם בשילוב עם הצמנטים

8 0 החדשים העתירים בתוספים מינרליים, וכיצד משפיעות תכונות אפר הפחם על היעילות הפוצולנית בצמנטים אלה. אפר הפחם משפיע על הבטון בשני מנגנונים: מנגנון כימי בגיל המוקדם על-ידי שינוי הסביבה הכימית בזמן ההידרציה, ובגיל המאוחר על-ידי יצירת גל צמנטי בתגובה פוצולנית. מנגנון פיזיקלי אפקט מלאן הבא לידי ביטוי באריזה טובה של החלקיקים הקטנים והאצה של ההידרציה של מרכיבי הצמנט על ידי מנגנון נוקלאציה על פני המלאן. האינטראקציה בין אפר פחם וצמנט, בעיסות, מלטים ובטונים נחקרה רבות ופורסמו לא מעט סקרים בנושא זה. הסקירה להלן מתייחסת בעיקר לעבודת חדשות שנעשו בשנים האחרונות בתחומים אלה, אשר להן משמעויות לגבי מטרת המחקר כאן, בעיקר בכל הקשור ביעילות בבטונים עצמם ובהפרדה בין אפקט מלאן ואפקט כימי )פוצולני(. 1.1 תקינה היעילות הפוצולנית של תוספים פוצולנים באה לידי ביטוי בת"י 644, כאשר בחישוב יחס מים לצמנט לצורכי קיים, מוסיפים את אפר הפחם לצמנט, עם מקדם יעילות התלוי בסוג צמנט, כאשר לצמנט מסוג CEM I המקדם הוא 2.6, ועבור צמנט מסוג CEM II המקדם הוא 2.0, כאשר תכולת אפר הפחם בה ניתן להשתמש לצרכי קיים מוגבלת ל- 022 ק"ג, ולא יותר משליש משקל הצמנט. מקדמים אלה מבוססים על דרישות בתקן האירופאי.EN206 התקן האירופאי EN 450 והתקן האמריקאי ASTM C617 מגדירים את הדרישות מאפר פחם. הבדיקות לאפר פחם מוגדרות בתקן האירופאי EN 450, EN 196 ובתקן האמריקאי ASTM C618 ו-.ASTM C311 היעילות הפוצולנית לצורך חוזק של תוספים פוצולנים מוערכת על-ידי בדיקה ע"פ,ASTM C311 או EN 450 והיא מבוצעת במדגמי מלט. מקדם היעילות הפוצולנית מוצג כיחס בין החוזק המתקבל במלט תקני המכיל 57% צמנט ו- 07% תוסף, ובין החוזק המתקבל במלט תקני המכיל 022% צמנט. התקינה האמריקאית דורשת אקטיביות הפוצולנית מינימלית של 57% בגיל 5 ו- 02 יום. התקינה האירופאית דורשת מינימום של 57% ב- 02 יום, ו- 27% ב- 02 יום. על פי התקינה, ההרכב הכימי של תוספים פוצולנים, ובכללם אפר הפחם צריך להיות בטווח של ערכים מוגבלים. הפסד בקלייה מירבי מותר לאפר פחם הוא 0.2% לסוג C, 5.2% לסוג B, ו- 7.2% לסוג A )משקלי( בתקינה האירופאית, ו- 4% בתקינה האמריקאית. ריכוז הכלוריד לא יעלה על 2.0% )משקלי(, בתקינה אירופאית בלבד. ריכוז הסולפט לא יעלה על 0.2% )משקלי( בתקינה האירופאית, ו- 7% בתקינה האמריקאית. ריכוז הסיד החופשי לא יעלה על 0.7% )משקלי(. כאשר הריכוז מעל 0.2% יש לבדוק גם הגדלת נפח במחט לשטליה. ע"פ ASTM יש לבדוק הגדלת הנפח בכל מקרה. התקינה האירופאית מגבילה את ריכוז הסיד האקטיבי ל- 02%. בתקינה האמריקאית מוגדר אפר בעל תכולת סיד חופשי מעל - 02% כאפר מסוג - C )אפר כזה מתקבל משריפה של פצלים ולא משריפה של פחם אנטרציט(. ריכוז תחמוצות הסיליקון, אלומיניום,

9 0 וברזל יהווה לפחות 52% ממשקל האפר )למעט אפר מסוג C(. על- פי התקן האירופאי, ריכוז האלקלים לא יעלה על 7% )שווה ערך לנתרן חמצני, משקלי(. בתקן האמריקאי קיימת דרישת רשות להגבלת תכולת האלקלים ל- 0.7% )שווה ערך לנתרן חמצני, משקלי(. ריכוז המגנזיה מוגבל בתקן האירופאי ל- 6% )משקלי(. עם זאת, על פי EN 450 חזקה על אפר פחם )משריפה של פחם אנטרציט טחון( כי הוא עומד בדרישות הכימיות ועל כן התקן אינו דורש לבדוק עמידה בדרישות אלו. בנוסף, התקן האמריקאי,,ASTM C 618 מגדיר פרמטר מחושב שאינו מהווה דרישת חובה, והוא מכפלת הפסד בקלייה בשארית על נפה 67 מיקרון. קיימת אפשרות לדרישות נוספות של המזמין כמו למשל הצטמקות ביבוש, כליאת אויר, והגדלת נפח בתגובה עם אגרגטים סיליקטיים. התקן האירופאי מגביל את דקות אפר הפחם ל- 62% שארית על נפה 67 מיקרון בניפוי רטוב )סוג N(, או 00% לסוג S. התקן האמריקאי מגביל את הדקות ל- 06% שארית על נפה 67 מיקרון בניפוי רטוב לכל סוגי האפר. 1.1 סקירה עדכנית של הספרות הסקירה המוצגת להלן מתמקדת בידע הנוכחי. שדווח בספרות בשנים האחרונות אשר יכול להיות רלוונטי למחקר אפיון אפר הפחם אפיון כימי פפדוקיס ושותפיו ]Papadakis2002[ הציעו למדוד את אחוז הסיליקה האקטיבית בחומר הפוצולני )לפי EN (. הם הראו, שכאשר יש מספיק סיד להגיב עם הערב הפוצלני, מקדם היעילות הפוצולני k ניתן להערכה ע"י המשוואה הבאה: משוואה 1 k ( s fs, p / fs, c) (1 a W / C) γ s כאשר היחס בין הסיליקה האקטיבית לסה"כ הסיליקה בחומר הפוצולני, בחומר הפוצולני, ו- f s,p f s,c אחוז משקלי של סיליקה אחוז משקלי של סיליקה בצמנט, a מקדם תלוי גיל השואף ל- 2 בגיל שנה. התוצאות הנ"ל אומתו בבדיקה עם בטונים. יוצאים מן הכלל הם חומרים פוצולנים טבעיים, בהם k המתקבל בשיטה זו הנה הערכת יתר ]Papadakis2002[ הצעה מוקדמת יותר ]Sharma1993[ מצאה קשר בין תגובה עם סיד לבין סיליקה אקטיבית ושטח פנים סגולי, ע"פ הנוסחה האמפירית: משוואה 1 F L S 0.8

10 6 כאשר (, F- שטח פנים סגולי )בליין, S,)cm 2 /gr אחוז סיליקה מסיסה. 1 kg/cm 2 ( תגובה עם סיד L תכולה גבוהה של פחם לא שרוף המתבססת על אמדן של הפסד בקלייה בתצרוכת המים לקבלת עבידות )LOI )ע"פ.]Atis2005[ עלולה לגרום לעלייה נתונה, בעוד תכולה נמוכה מקטינה את תצרוכת המים לאותה עבידות אפיון פיזיקלי את גודל הגרגר של אפר הפחם מודדים באחת מהשיטות הבאות: שטח פנים סגולי ע"י בליין )C204,)ASTM אחוז משתייר על נפה 45, μm ואיפיון גודל החלקיקים המתקבל מעיבוד תמונה )מיקרוסקופ אור( בהגדלה,]Felekoglu2009[ 722X או דיפרקציה של אור באורך גל ידוע )שיטה מקובלת בעת האחרונה בזכות מכשור מעבדתי אוטומטי, כגון )MasterSizer נמצא קשר ליניארי בין התוצאות במדידות השונות, כך שלצורך קבלת מתאם, אין חשיבות לשיטת הבדיקה.]Felekoglu2009[ עבידות בדרך כלל השילוב של אפר פחם בבטון משפר את העבידות ומקטין את תצרוכת המים הודות למבנה של החלקיקים שהוא עגול ובעל שטח פנים חלק. יחד עם זאת יכולות להיות סטיות ממגמה זו כפי שבא לידי ביטוי בעבודה של.]Felekoglu2009[ בניסוי במלטים, תוספת של אפר פחם בדקות של 262 m 2 /kg גרמה להגדלת תצרוכת המים. טחינה קלה של אפר הפחם לדקות של 393 m 2 /kg הפחיתה את תצרוכת המים, יחסית לאפר פחם שאינו טחון, אך טחינה נוספת העלתה את תצרוכת המים. בדיקה בריאו-מיקסר העלתה כי תוספת אפר פחם שאינו טחון מעלה את הצמיגות, באופן משמעותי יותר מאפר פחם טחון, וזאת בתלות באחוז אפר הפחם מכלל חומר המליטה, במיוחד כאשר חלקו עולה מעבר ל- 02%. מאמץ הכניעה של הבטון הטרי עלה עם אחוז אפר הפחם, ללא תלות בדקות הטחינה..]Felekoglu2009[ חוזק בדרך כלל החוזק בגיל מוקדם וגיל 02 יום של תערובות עם אפר פחם הינו נמוך מאשר תערובת בקרה והוא עולה עליה רק בגיל של 02 ימים. בעבודה שבדקה את השפעת שטח הפנים הסגולי של אפר פחם על החוזק נמצא שבגיל 02 יום התקבל חוזק גדול ביותר עבור אפר פחם בדקות טחינה של 393. m2/kg עבור אפר פחם עם שטח פנים גדול או קטן יותר התקבל חוזק נמוך יותר ביחס לתערובת הייחוס..]Felekoglu2009[ כלומר, לכאורה קיימת דקות טחינה אופטימלית. יש בכך אינדיקציה לחשיבות פילוג החלקיקים בבטון. לדקות הטחינה של תוספים מינרליים יש השפעה על החוזק, והדבר בולט בעיקר בגיל מוקדם, כפי שרואים איור.]Cyr2006[ 1 1 היחידות אינן תואמות. יתכן שמדובר בטעות דפוס במקור

11 7 איור 1 :השפעת דקות טחינה וסוג מוסף על החוזק של מלטים בגילים שונים )מתוך- )]Cyr2006[ את החוזק של צמנט מעורב המכיל תוספים מינרליים ניתן לחלק לשלושה גורמים: דילול הצמנט, ז.א. הגדלה אפקטיבית של מנת המים לצמנט ופועל יוצא הוא חוזק נמוך יותר בעיקר בגיל מוקדם שבו לא באה לידי ביטוי הפעילות הפוצולנית )הקטנת החוזק(. אפקט פיזיקלי, בעיקר על ידי יצירת שטחי פנים עליהם מתרחשת נוקלאציה של מוצרי הידרציה וכן גם אפקט של ציפוף פיזיקלי באותם מקרים שמתקבל דרוג טוב של התוספים עם גרגירי הצמנט )הגדלת החוזק( אפקט כימי, יצירת ג'ל צמנטי על ידי הידרציה של החומר הפוצולני )הגדלת החוזק(. את ההשפעות האלה ניתן לסכם לפי הנוסחה:

12 4 משוואה 3 f p f dilution f f pz כאשר f- p חוזק המתקבל מצמנט מעורב המכיל קלינקר ותוספים מינרליים, פורטלנד, לאחר שהוא דולל עקב החלפה בתוסף מינרלי, החוזק, f dilution Δf φ f dilution Δf pz ההשפעה הכימית של תגובה פוצולנית של התוסף המינרלי. ההשפעה הפיזיקלית של החוזק מתקבל מצמנט מלאן על מנגנון באופן ניסוי נמצא ע"י החלפה של תכולת הצמנט במלאן אינרטי גס )שטח פנים סגולי של כ- 02 מ"ר לק"ג(. באופן אנליטי ניתן לחשבו ע"י שינוי יחס מים לצמנט מתוך חוק אברהמס או חוק פאוור )במחקר הנ"ל נמצאה התאמה טובה יותר לחוק פאוור(. Δf φ באופן ניסויי נמצא ממשוואת החוזק בהחלפת צמנט במלאן אינרטי גס, לעומת החלפה במלאן אינרטי דק. הגישה האנליטית דומה לזו של ההשפעה הפוצולנית. באופן ניסויי נמצא מהפרש החוזק בין תערובות זהות למעט החלפת צמנט בחומר פוצולני או מלאן Δf pz אינרטי בעל אותו שטח פנים סגולי. את Δf φ ו- Δf pz ניתן לחשב על פי הנוסחה הבאה: משוואה 4 f ( t) 1 a( t) b S eff c כאשר a מקדם תלוי זמן )גדול יותר עבור האפקט הפוצולני(, b בקרוב שטח הפנים הסגולי של הצמנט, - c 0, eff S שטח פנים סגולי אפקטיבי של התוסף, לפי הנוסחה: משוואה 5 S eff S s p p 1 1 cos( p) 2 k 1 p m n 1 כאשר - Ss שטח פנים סגולי של התוסף, p שיעור ההחלפה של קלינקר בתוסף, והמקדמים m, k, ו- n הם מקדמים אמפיריים שבעבודה קודמת ]Cyr2005[ נמצאו 04.2, 2.5, ו- 0.6, בהתאמה. בבטונים עם אפר פחם המכילים מוסף מפחית מים מתקבל מקדם יעילות פוצולני גבוה מזה שמתקבל בבטון מקביל ללא מוסף.]Atis2005[ יתכן שיש לכך חשיבות מבחינת פיזור אפר הפחם במערכת, לצורך יצירת אפקט המלאן והאפקט הפוצולני. אפיון על-סמך פעילות פוצולנית מחישוב רמת ההידרציה של אפר פחם ברמת הוספה נמוכה, אפשר למצוא את האחוז המקסימלי של אפר פחם שיכול להגיב. במקרה הספציפי מדובר ב-.]Wang2004[ 05%

13 5 השפעת יחס תוספים לקלינקר על פעילות אפר-פחם כאשר אין תוספת של אפר פחם, רק כשלושת רבעי הקלינקר עוברים הידרציה כעבור שנה. כאשר אפר הפחם מהווה 42% מחומר המליטה, כ- 02% מהקלינקר עובר הידרציה תוך 0 חודשים. ככול שתכולת אפר הפחם גדולה יותר, ההידרציה של הקלינקר מהירה ומלאה יותר, אבל שיעור התגובה של אפר הפחם נמוך יותר. ]Wang2004[ לתוספת אפר הפחם עצמה יש השפעה חיובית על החוזק שנובעת מאפקט המלאן. השפעה זו היא בעלת משמעות רק בגיל צעיר, והופכת להיות זניחה בגיל 0 חודשים. ]Wang2004a[ בנוסף נמצא שמקדם האקטיביות הפוצולנית תלוי גם בתכולת הצמנט, ועולה עם תכולת הצמנט.]Oner2005,Yildirim2011[ תכן תערובת עם אפר פחם השוני המהותי בין תכן תערובת ללא אפר פחם לתכן תערובת עם אפר פחם הוא קביעת היחס בין המים לחומרי המליטה, עבור יחס נתון בין אפר פחם לצמנט. נמצאו אינדיקציות לכך שתכולת האוויר עולה עם עלייה בהפסד בקלייה,)LOI( עד כדי אחוז אחד.]Huang2013[ מודלים אמפיריים ללא קשר לתהליכים המתרחשים, נמצא קרוב אמפירי המאפשר חיזוי החוזק של בטון המכיל חומר מליטה שבו הוחלף צמנט CEMI באפר-פחם בשיעורים של 02% עד 22%. בספרות דווחו ערכים בטווח רחב, 2.02 עד 0.2 החיזוי מתבסס על נוסחת בולמי )כאשר המשתנה השני הוא בקרוב 0.5-, ע"פ :)]Brandt1995[ משוואה 6 f c A( t) (1/ 0.5) ω כאשר A הוא מקדם אמפירי התלוי בסוג הצמנט, ו- הנה מנת המים האפקטיבית המביאה בחשבון את 024 EN תכולת הצמנט ותכולת האפר כשהיא מוכפלת במקדם יעילות, k, כפי שמוגדר בתקנים כדוגמת )משוואה 5( משוואה 7 ω הערכים של k בגיל יום יכולים להיות בטווח רחב, בין ו 0.2, כאשר במחקר שבוצע במקור ]Rajamane2007[ דווח על ערכים שנעים בין 2.70 )עבור- 22% החלפה( ל )עבור 02% החלפה(. הערכים של k שהתקבלו התאימו בקרוב למשוואה: משוואה 8 k ln( p) כאשר p הוא אחוז אפר הפחם מכלל חומרי המליטה. ]Rajamane2007[

14 2 קרוב אחר לחוזק על-פי ]Huang2013[ נתון במשוואה 0 משוואה 9 כאשר את הפרמטרים γ β, α, יש למצוא בצורה אמפירית לגיל הרצוי, לכל סוג צמנט ואפר-פחם. משוואה זו שמשה בהצלחה לחיזוי החוזק של בטונים בעלי חוזק רגיל )06 עד 07 מגפ"ס ע"פ התקן הטייוואני(, בתכולות אפר פחם של 2-22% מסך חומרי המליטה )כלומר עד פי 6 ממשקל הצמנט(. ]Huang2013[ מדידה של הידרציה כאשר צמנט ואפר פחם עוברים הידרציה בתערובת - לא ניתן למצוא את שיעור ההידרציה ממשתנה בודד, כמו מים קשורים, נקבוביות, או תכולת הסיד. פתרון שנעשה בו שימוש הוא פתרון שתי משוואות בשני נעלמים, האחת מתייחסת לנקבוביות והשנייה לתכולת הסיד כדי למצוא את ההידרציה של הצמנט ואפר הפחם, כל אחד בנפרד.]Wang2004[ הנקבוביות נקבעה ע"י פורוזימטר כספית, ותכולת הסיד ע"י בדיקה תרמו-גרבימטרית..TGA סיכום ודיון העבודה המקיפה ביתר בתחום של יעילות מלאנים ותוספים מינרליים במלטים בשנים האחרונות היא של Cyr שמסוכמת ב-.]Cyr2006[ עם זאת, עבודה זו מתייחסת לאפקט המלאן ולאפקט הפוצולני כמקשה אחת, ומתעלמת מההבדלים ביניהם. סביר להניח שההשפעה של הכימיה נכנסת למקדם a במשוואה 6. אם נשתמש במשוואות 0-7 על מנת למצוא את התנהגות החוזק, יתכן שלצורך ההתחשבות בכימיה מספיק למצוא קורלציה בין a, מקדם השפעה על החוזק, של משוואה 6, ל- k, מקדם היעילות הפוצולנית, במשוואות 0 ו- 5. מאחר ולשטח הפנים הסגולי השפעה משמעותית על החוזק, הן עקב אפקט המלאן, והן עקב השפעה על הפעילות הפוצולנית, יש מקום להתייחס אל ערבל הבטון כאל טחנת כדורים. בנוסף יש לזכור כי בבטון יש שימוש במוספים פעילי שטח )מפחיתי מים למיניהם(. יתכן שהגורם לשוני בין תפקוד אפר פחם במלטים לעומת תפקודו בבטונים נובע משטח הפנים האפקטיבי, זאת כנראה עקב טחינה ופיזור של אפר הפחם, בערבל בטון, ובנוכחות מפחיתי מים, שאינה מתקיימת בבדיקה התקנית )מלטים(. דווקא בבטונים בעלי יחס גבוה של אפר פחם לקלינקר ניתן לצפות להתפתחות חוזק מהירה יותר ביחס לבטון בקרה, וזאת עקב המסה מהירה יותר של הקלינקר, כתוצאה של מירידה בריכוז הסידן בתמיסה )שהגיב עם החומר הפוצולני(. 1.1 מטרת המחקר אפיון ההתנהגות של סוגים שונים של אפר פחם בבטונים העשויים מצמנט מסוג CEMI ו- CEMII במטרה לבחון את היעילות של אפר הפחם המשולב בבטון עצמו כמרכיב נפרד ולברר האם השימוש בצמנטים מעורבים מקטין את יעילות האפר בבטון.

15 0 1. מערכת הניסויים 1.1 תוכנית המחקר המחקר התבסס על בחינה של תערובות בטון המכילות אפר פחם יחסית לתערובות בקרה ללא אפר פחם. המחקר התמקד באפיון בטונים רגילים, בטווח חוזק של ב- 02 ב- 62. תערובות הבקרה היה בתכולת מים קבועה של 042 ק"ג מים למ"ק בטון, עם תכולת צמנט של 002 ו- 052 ק"ג/מ"ק. התערובות עם אפר הפחם היו על בסיס של 002 ק"ג/מ"ק צמנט, אשר אליה הוספו 022 ק"ג/מ"ק אפר )על חשבון החול הדק(, מתוך מטרה להגיע לביצועים אקוויוולנטיים לתערובת הבקרה עם 052 ק"ג/מ"ק צמנט )דהיינו החלפה של 62 ק"ג צמנט ב- 022 ק"ג של אפר מתוך כוונה לבחון את מידת היעילות של החלפה זו(. לצורך בחינת אפקט המלאן הוכנה גם תערובת אשר בה במקום אפר פחם הוסף מלאן גיר בעל גודל חלקיקים דומה לזה של האפר. המשתנים בהרכב היו שלושה סוגים של אפר פחם ושני סוגים של צמנט ( CEMI ו-.)CEMII הבדיקות כללו אפיון של עבידות, חוזק וחדירות של הבטונים. מאחר והרכב הבטונים נשאר זהה, ניתן יהיה להסיק מתוכם באופן השוואתי על היעילות של כל אחד מהאפרים והשילוב של יעילות של הרכב האפר בצמנטים שונים. 1.1 חומרים חומרי גלם לצורך המחקר נבחרו, לאחר התייעצות, שלושה סוגי אפר פחם המייצגים את מרבית האפר המיוצר בארץ והם מתאפיינים במקדמי אקטיביות פוצולנית שונים, גבוה, בינוני ונמוך. תכונות אפר הפחם, כפי שהתקבלו ממנהלת אפר הפחם מופיעות בטבלה 0. בנוסף, מדגמי האפר והמלאנים במחקר נשלחו לאנליזה כימית במעבדות נשר, והרכבם כפי שהתקבל ממעבדת נשר מופיע בטבלה 0.. פילוג החלקיקים של האבקות נבדק בתרחיף מימי ע"י שימוש בדיפרקציה של אור נראה באמצעות מכשיר MasterSizer בפקולטה להנדסה כימית בטכניון. הפילוג מופיע בשגיאה! מקור ההפניה לא נמצא. 0 א' ו- 0 ב' וסיכום של הערכים המאפיינים את עקומי הפילוג מוצגים בטבלה 0. החול המודרג )2-0.7 מ"מ( שבו נעשה שימוש עבר שטיפה כדי להוציא ממנו את הדקים. הסימולציה לדקים שבחול זה התקבלה ע"י שימוש ב"מלאן אספלט", שהנו מלאן אבן גיר אשר הוסף לחול הטבעי כדי ביחד לייצג חול גרוס בצורה שתאפשר הכנת תערובות עם תכולה קבועה של דקים.

16 פעילות פוצולנית 02 טבלה 1: תכונות אפר פחם ע"פ תוצאות שהתקבלו ממנהלת אפר הפחם )בדיקות פעילות פוצולנית נעשו ע"י איזוטופ. האפר ששימש לבדיקות אינו מאותה אצווה ששימשה למחקר( תחנה חדרה חדרה אשקלון Calantoritas Drummond ספק Billiton La Lama BB Glencore LS prime תכונה סוג משקל גר' סגולי לסמ"ק משתייר 67 מיקרון % הגדלת זמן תחילת % התקשרות הפסד % בקלייה % כלוריד % סיד חופשי % SO % S+A+F % אלקלים כ- Na2O % M פוספט מסיס ppm % רטיבות

17 00 טבלה 1: הרכב כימי של האבקות במחקר )נבדק במעבדות נשר מדוגמאות של אותה אצווה ששימשה למחקר( Component, CEM II A- Asphalt %wt. BB Prime La Loma LS Calantoritas CEM I M/SLV Filer CaO SiO AL Fe 2 O MgO TiO K 2 O Na P 2 O 5 (soluble) Mn 2 O SO TOC 0.43% LOI LOI LOI total

18 passing (%) % in range א) particle size (micron) CEM I CEM II A-M/SLV BB Prime Calantoritas La Loma LS Asphalt Filler Avgil 128 איור 1: דיאגרמת פילוג חלקיקים של אפרי הפחם והמלאנים, כאחוז משקלי מצטבר CEM I CEM II A-M/SLV BB Prime Calantoritas La Loma LS Asphalt FIller Avgil particle size (micron) )

19 % in range % in range ב) ג) CEM I CEM II A-M/SLV particle size (micron) ) BB Prime Calantoritas La Loma LS Avgil particle size (micron) ) איור : 3 דיאגרמת צפיפות הסתברות של פילוג החלקיקים של האבקות במחקר: )א( פילוג של כל האבקות, )ב( השוואת פילוג של שני הצמנטים, )ג( השוואת פילוג של המלאנים, מדגמי אפר הפחם ומלאן הגיר

20 06 טבלה 1: סיכום תכונות פילוג חלקיקים של האבקות במחקר CEM II A- CEM I M/SLV BB La-Loma Asphalt Avgil Prime Calantoritas LS Filler 128 d 0.1 (micron) d 0.2 (micron) d 0.5 (micron) d 0.8 (micron) d 0.9 (micron) surface weighted mean (micron) volume weighted mean (micron) Specific surface area (m 2 /gr) והערכים הטיפוסיים בטבלה 0 מראים שכל הנתונים הכלליים של עקומי הפילוג באיורים איור 0 ו -איור 3 האבקות נמצאות בטווח דומה של גודל חלקיקים. יחד עם זאת, יש הבדלים בעלי משמעות. לשני הצמנטים ערכים ממוצעים שונים של גודל חלקיקים ממוצע, אך הפילוג הנו רחב יותר בצמנט מסוג,CEMII עם חלק גדול יותר של חלקיקים קטנים. הדבר מוצא את ביטויו בעקומי הפילוג המוצגים באיור 3 -ב' וכן בשטח הפנים 3 הסגולי שהוא גבוה יותר בצמנט מסוג,CEMII טבלה 0. באשר למלאנים, -ג' איור מראה שלאפר LA הגיר פילוג צר יחסית של גודל החלקיקים, בעוד שלשני מדגמי האפר האחרים, CALANTORITASולמלאן LOMA ו PRIME,BB פילוג רחב יותר עם תכולה גדולה יותר של חלקיקים קטנים, כפי שגם בא לידי ביטוי בטבלה 0 בערכים של (0.1)d, (0.2)d. יעילות פוצולנית ע"פ EN 450 היעילות הפוצולנית של האפר ששימש במחקר נבדקה עם שני סוגי הצמנט ששימשו במחקר. מאחר והתוצאות מהוות מרכיב באפיון החומרים הן מובאות בטבלה 6. כל הניתוחים המופיעים במחקר מתייחסים לתוצאות אלו.

21 07 טבלה 1: יעילות פוצולנית ע"פ EN 450 של מדגמי האפר שנקבעה בבדיקה עם כל אחד משני סוגי הצמנטים ששימשו במחקר La-Loma LS BB Prime Calantoritas צמנט גיל )ימים( CEM I CEM II תערובות ניסיון הוכנו 6 תערובות ניסיון, בנפח 02 ליטר בערבל בחש, ע"מ לבחור את המוסף הכימי המתאים )שיהיה יעיל גם בתערובות עם אפר פחם(, לבדוק את התאמת יחסי התערובת, ולוודא קבלת חוזק מתאים לבטון מסוג ב- 02. הרכבי התערובות הראשוניים מופיעים בטבלה 7. סומך היעד היה בטווח מ"מ.)S4-S6(

22 04 R2000+FA טבלה 5: הרכבי תערובות לבדיקת מוספים כימיים )ק"ג למ"ק( תערובת R1000+FA R2000 R1000 חומרים חול מודרג שטוף 407 מלאן אספלט מיקרון חול טבעי רותם מ"מ אפר פחם פילר כפר גלעדי צמנט מים מוסף מפחית מים 5.4 הערות ריאובילד ריאובילד 0222 ריאובילד 0222, אפר ריאובילד 0222, אפר פחם BB PRIME פחם BB PRIME 0222 חוזק תקני )MPa( 43.6 תכונות הבטון הטרי והחוזק התקני של התערובות לבדיקת מוספים מופיעים בטבלה 4. טבלה 6: תכונות הבטון הטרי והחוזק התקני של תערובות לבדיקת מוספים תכולת אויר )%( משקל מרחבי )ק"ג\מ"ק( סומך )ירד ב- מ"מ( תערובת R R R1000+FA R2000+FA המוסף ריאובילד 0222 היה יעיל יותר בתערובות עם אפר הפחם בכל הקשור שלמירת סומך דומה לתערובת הבקרה ועל כן הוא נבחר לשימוש במחקר הנוכחי. כמו-כן, נעשה שינוי ביחסי האגרגטים לתערובות. תערובת ניסיון בהרכב החדש הוכנה ונמצאה מתאימה לעבודה. התערובות טבלה 5 הן אלה שנבחרו בעקבות הניסויים המוקדמים.

23 הרכב התערובות על בסיס התוצאות של תערובות הניסיון תוכננו תערובות בהרכבים המוצגים בטבלה 5, אשר המשתנים בהן הם תכולת הצמנט בתערובות הבקרה )052 ו- 002 ק"ג/מ"ק(, סוג הצמנט, סוג האפר ומלאן אבן גיר כתחליף לאפר. מהתערובות הוכנו מדגמים כמפורט להלן: 0 קוביות לחוזק בכל אחד מהגילאים: 02 02, 06, 5, יום סומך ומשקל מרחבי של הבטון הטרי ד 0 סקיות לקביעת ספיגות קפילרית וחדירות אויר )טורנט( תערובת REF ו REF נוצקו פעמיים. פעם בתחילת המחקר ופעם בסופו כדי לקבל אמדן של מידת החזרתיות ביציקת תערובות. הרכבי תערובות לניסוי )ק"ג למ"ק( תערובת טבלה 7: REF-0- REF-2- [FA type]- LF-2 LF-1 REF-1- REF-2- חומרים [cemet type] אגרגט מ"מ אגרגט מ"מ אגרגט מ"מ מודרג חול מלאן אספלט מיקרון 39 חול טבעי רותם מ"מ אפר פחם פילר כפר גלעדי צמנט מים ריאובילד 0222 CEM II CEM I CEM II CEM I CEM II סוג הצמנט CEM I לפי הסימון

24 בדיקות סומך סומך הבטון הטרי נבדק ע"י שקיעה בקונוס אברהמס )ת"י 04 חלק 0.0( משקל מרחבי של הבטון הטרי משקל מרחבי של הבטון הטרי נבדק ע"י שקילת הבטון בסיר בעל נפח ידוע של 5.22 ליטר )ת"י 04 חלק 0.7( חוזק לחיצה דוגמאות הבטון לבדיקת חוזק לחיצה היו בגודל של 022*022*022 מ"מ. הן עברו אשפרה תקנית )02 מע"צ, שבוע במים ולאחר מכן ב- 42% לחות יחסית(, וחוזקן נבדק בגילאים: 02, 06, 5, ו- 02 יום, בהתאם לת"י 04 חלק 6.0. חדירות לאוויר בדיקת חדירת אוויר נעשתה באמצעות מכשיר.[Torrent [1992,Torrent ספיגות נימית הבדיקות נערכו בהתאם לתקן ישראלי ת"י 04 חלק 7, סעיף 024. לכל תערובת בטון נבדקו 0 מדגמים וחושבו הערכים הממוצעים של ספיגת המים הכוללת וקצב הספיגה הקפילרית )ספיגה נימית(. 1. תוצאות 1.1 תכונות התערובות תכונות התערובות שנוצקו מופיעות בטבלה 2. הצמנט, הסיומת המספרית ליד כל כינוי של תערובת מציינת את סוג.)0( )0( ו- CEMII CEMI

25 00 טבלה 8 תכונות הבטון הטרי והקשוי capillary KT compressive strength absorption (10 - BSG slump (MPa) (gr/m 2 /hr 0.5 ) 16 m 2 ) (kg/m 3 ) (mm) mix REF (1) REF La loma LS-1 La loma LS-2 BB Prime-1 BB Prime-2 Calantoritas- 1 Calantoritas- 2 LF-1 LF-2 REF REF REF (2) סומך מחזרה על תערובת,REF אפשר להסיק כי הפרש סומך של 02 מ"מ אינו מהותי. בכל התערובות היה הפרש סומך משמעותי בין התערובות מ-,CEM I לתערובות מ-,CEM II כאשר הירד של התערובות שהוכנו מ- CEM II היה גבוה בכ- 62 עד 02 מ"מ מהירד שהתקבל בתערובות שהוכנו מ-.CEM I החריגים הבולטים לכלל זה הן התערובות עם מלאן גיר - LF-1 ו- LF-2, שם ההפרש היה הפוך. יתכן שריכוז אלומינטים נמוך יותר בצמנט מסוג CEM II הוא הגורם להגדלת האפקטיביות של המוסף מפחית המים. בכל מקרה, אין בכך כדי להסביר מדוע בתערובות עם מלאן הגיר התוצאה הייתה הפוכה.

26 א- Pozzelanic activity index in mortar (EN 450) יעילות במדגמי מלט בדיקות תקניות סיכום של כל התוצאות לבדיקות יעילות במלט מוצג בטבלה המתבססת גם על מידע הנמצא באתר של מנהלת אפר הפחם, איור 6 '. בדיקות אלה בוצעו עם צמנט מסוג CEM I כנדרש בתקן. באיור 6 -ב' נערכת השוואה בין התוצאות המצטברות למדגמי אפר אלה שהתקבלו בבדיקות מתמשכות על ידי מנהלת אפר הפחם ובין התוצאות שהתקבלו במדגמי האפר ששמשו במחקר זה, עבור גיל 02 ימים )נתונים מטבלאות 0 ו- 6(. טבלה 9: יעילות פוצולנית בגיל 18 יום של סוגי האפר ששימשו במחקר ממוצע רב אצווה אצווה שנתי קודמת במחקר סטיית תקן של הממוצע הרב שנתי La-Loma LS BB Prime Calantoritas La-Loma LS BB Prime Calantoritas Age (days) )א(

27 Pozzelanic activity index (EN 450) pozzelanic activity index in mortar (EN 450) La-Loma LS BB Prime Calantoritas Multiannual average (CEM I) CEM I CEM II )ב( Multiannual average (CEM I) 0.5 CEM I CEM II La-Loma LS BB Prime Calantoritas )ג( איור 1: מקדמי היעילות של מדגמי אפר בבדיקה תקנית של מלטים: )א( ממוצעים מבדיקות מתמשכות על ידי מנהלת אפר הפחם )ב( תוצאות של בדיקות במחקר זה עם האפר והצמנטים שנחקרו בהשוואה לבדיקות המתמשכות של מנהלת אפר הפחם תוצאות של גיל 18 ימים, השוואה לפי סוג אפר. )ג( תוצאות של בדיקות במחקר זה עם האפר והצמנטים שנחקרו בהשוואה לבדיקות המתמשכות של מנהלת אפר הפחם תוצאות של גיל 18 ימים, השוואה לפי בדיקה. ניתן לראות מאיור 0 א' שבכל הגילים, אפר LALOMA הוא היעיל ביותר, ולאחריו לפי סדר יורד של יעילות BB ו.CALANTORITAS יחד עם זאת ההבדלים הנם קטנים יחסית ונמצאים בתחום הסטייה PRIME הסטטיסטית. בציור 0 ב' ניתן להבחין שבבדיקות שבמחקר זה נמצא שאפר CALANTORITAS הוא הפחות פעיל

28 CEM II 00 ב-,CEM II אך יותר פעיל ב-,CEM I לעומת זאת היעילות של האפר מסוג BB Prime דוקא יותר נמוכה ב-.CEM II יחסית ל- CEM I מקדמי היעילות הפוצולנית המתקבלים לפי EN 450 )להלן )EN 450 מופיעים טבלה 6. הקשר בין מקדמי היעילות המתקבלים בשני הצמנטים אינם ברורים ונראה שיש פיזור גדול, שגיאה! מקור ההפניה לא נמצא.. רגרסיה ליניארית בין התוצאות עבור הצמנטים השונים נותנת מתאם 0.52=r. עבור 00 מדידות מתאם כזה משמעותו הסתברות של כ- 00% לקיום קשר ליניארי בין התוצאות המתקבלות ב- CEM I לאלו המתקבלות ב-,CEM II אך הסטייה מהמתאם היא כה גדולה, כך שאין לו משמעות. מציור זה ניתן להבחין במגמה של מקדם אקטיביות גבוה יותר דווקא בצמנט.CEMII EN CEM I La-Loma LS BB Prime Calantoritas איור :5 היעילות הפוצולנית ע"פ EN 450 עם CEM II כנגד CEM I 1.1 חוזק ויעילות בבטון בעבודה זה הגדרנו לצורך השוואה מקדם שניתן לו הכינוי מקדם היעילות בבטון, משוואה 02, ומוצג בטבלה 0 ואיור 4 ו-איור 5. מקדם יעילות בבטון חוזק בטון עם אפר חוזק בטון ללא אפר משוואה 11

29 Relative strength 00 טבלה 02: מקדם היעילות בבטון גיל La loma LS La loma LS BB Prime BB Prime-2 Calantoritas Calantoritas LF LF-2 100% 80% 60% 40% 20% 0% איור 6: מקדם היעילות בבטון

30 Relative strength Relative strength % 100% 95% 90% 85% 80% 75% REF REF La loma LS-1 La loma LS-2 BB Prime-1 BB Prime-2 Calantoritas-1 Calantoritas-2 LF-1 70% age (days) LF-2 100% )א( 95% 90% 85% 80% 75% REF La loma LS-1 BB Prime-1 Calantoritas-1 LF-1 70% age (days) )ב(

31 Relative strength % 95% 90% 85% 80% 75% REF La loma LS-2 BB Prime-2 Calantoritas-2 LF-2 70% 65% age (days) )ג( איור 7: מקדם היעילות בבטון כנגד גיל הבטון )בימים( )א( כל התוצאות, )ב( תוצאות של מערכות עם צמנט I, )ג( תוצאות של מערכות עם צמנט II LA- BB PRIME ניתן לראות שבדרך כלל מקדם היעילות גדל עם הגיל. הוא גבוה ביותר במדגמי אפר ו,LOMA כאשר ההבדל בין שניהם קטן. הוא נמוך יותר באופן משמעותי באפר,CALANTORITAS ונמוך בהרבה במלאן אבן הגיר. כאשר משווים את מקדמי היעילות לגבי אפר פחם ומלאן נתונים במערכות משני סוגי CEMI הצמנטים רואים שההבדלים אינם גדולים ולא ניתן לקבוע שבמערכת מצמנט מסוג היעילות גדולה יותר. מעניין לציין שבכל המערכות עם צמנט CEMII יש הקטנה במקדם היעילות בגיל 02 יום, בעוד שבצמנט CEMI לא ניכרת תופעה כזו. הסיבה לירידה היא שבמערכת עם CEMII יש גידול בחוזק בין 02 ל- 02 יום שהוא גדול באופן יחסי ל- CEM I )כנראה תוצאה של פעילות המוספים המינרליים ב- CEM II שבאים לידי ביטוי בגיל בגיל מאוחר מ- 02 יום(, בשעה שהגידול בחוזק, בתערובות עם אפר הפחם ומלאן הגיר, הנה יותר נמוכה באופן יחסי מהגידול בחוזק של מדגם הבקרה. מעניין לציין שמהתוצאות שבאיור 7 רואים שיש תרומה לחוזק בנוכחות מלאן אבן גיר שהוא לכאורה אינרטי. התרומה יותר קטנה מזו של אפר פחם אך היא בעלת משמעות. מתוך כך ניתן להגדיר שלושה רכיבים התורמים לחוזק רכיב הצמנט, רכיב המלאן, והרכיב הפוצולני. לצורך אפיון התרומה של הרכיבים השונים נעשה שימוש בתערובת הבקרה עם 002 ק"ג צמנט למ"ק ועל בסיסי זה הוגדרו הפרמטרים הבאים:

32 04 אפקט מלאן - הפרש החוזק בין תערובת הייחוס,,REF 230 וחוזק התערובת עם מלאן הגיר,)LF( יחסית להפרש החוזק בין תערובות הבקרה עם 002 ו- 052 ק"ג/מ"ק. אפקט פוצולני - הפרש החוזק בין התערובות עם 002 ק"ג צמנט ואפר פחם והתערובות עם 002 ק"ג צמנט ומלאן גיר יחסית להפרש החוזק בין תערובות הבקרה עם 002 ו- 052 ק"ג/מ"ק צמנט. אפקט המלאן נע בין 7.0% ל- ( 0.0% טבלה 11(. מאחר שמתוצאות אלה לא ניתן לראות מגמה ברורה הקשורה בגיל או בסוג הצמנט, הערכים הנ"ל, הרי ניתן להעריך שאפקט זה הוא בקרוב קבוע. בטווח טבלה 11 אפקט המלאן CEM II גיל CEM I 6.0% 9.1% 7 6.5% 5.3% % 10.1% % 9.9% 90 האפקט הפוצולני גדל עם הגיל )טבלה 00(. עבור אפר פחם מסוג BB Prime ו- La Loma LS האפקט הפוצולני גדול מאפקט המלאן כבר בגיל שבוע. בגיל 06 יום, האפקט הפוצולני גדול מאפקט המלאן לכל סוגי אפר הפחם, כאשר לשני הראשונים, הוא כבר גדול בהרבה. ניכר כי האפקט הפוצולני גדול יותר עבור,CEM II לכל סוגי אפר הפחם, ולכל גיל. Calantoritas- Calantoritas- טבלה 11 האפקט הפוצולני גיל 2 1 BB Prime-2 BB Prime-1 La loma LS-2 La loma LS הגדרה אחרת של מקדם היעילות בבטון המקובלת בתקנים, אשר אותה נכנה מקדם היעילות הטכנולוגי k, נקבעת על פי משוואה 00 ומשמשת למעשה לחישוב מנת מים אפקטיבית:

33 05 משוואה 11 ω ניתן לחשב בקרוב את יחס המים לצמנט האפקטיבי ע"י אינטרפולציה ליניארית של החוזק כנגד יחס מים לצמנט של התערובות REF-270 ו- REF-230 )יחס מים לצמנט של הראשונה הוא 2.70 ושל השנייה 2.52(. את האינטרפולציה מבצעים בנפרד לכל סוג צמנט, ואז ניתן לקבל את מקדם היעילות הטכנולוגי k על-ידי חילוץ ממשוואה 00. ערכי היעילות המחושבים מופיעים בטבלה 00. טבלה - 11 מקדמי יעילות פוצולנית טכנולוגיים k age La loma LS La loma LS BB Prime BB Prime-2 Calantoritas Calantoritas LF LF-2 מקדם היעילות הטכנולוגי ומקדם היעילות בבטון )חוזק יחסי( מחושבים על אותו בסיס נתונים של חוזק, ועל כן אין זה מפתיע שיש קשר לינאי אחיד ביניהם, כפי שרואים באיור 2 בא. יור זה רואים בברור שהמקדמים של אפר CALNTORITAS הינם בטווחים הנמוכים יותר בעוד שהנקודות המייצגות את BB PRIME ו LALOMA הנם גבוהים יותר ללא נטייה ברורה ליתרון של אחד מהם.

34 Efectivity coeficient k Relative strength BB Prime CEM I La Loma CEM I Calantoritas CEM I BB Prime CEM II La Loma CEM II Calantoritas CEM II איור 8: הקשר בין מקדמי היעילות בבטון, המקדם הטכנולוגי והחוזק היחסי. ניתן להעריך את סטיית התקן של מקדם היעילות הפוצולני הטכנולוגי k מתוך סטיית התקן של בדיקות החוזק, וזאת מאחר שחישוב מקדם היעילות הפוצולני הטכנולוגי k מבוסס על תוצאות החוזק. החישוב של k מבוסס על חישוב יחס מים לצמנט אפקטיבי. חישוב יחס המים לצמנט האפקטיבי נעשה ע"י התאמת החוזק המתקבל לקו רגרגסיה ליניארית שבין שתי נקודות בעלות יחס מים לצמנט בפועל השווה לזה האפקטיבי. שתי הנקודות הללו הן תערובות REF 230 ו-,REF 270 שאינן מכילות תוספים פוצולנים או מלאן נוסף. חישוב סטיית התקן המצטברת מבוססת על הקשרים המופיעים בטבלה 06. טבלה 11: קשרים מתמטיים לחישוב שגיאה נגררת הקשר בין השגיאה הנגררת - δf כאשר δx=δy לשגיאות של המשתנים δx,δy הפונקציה δ δ δ δ δ δ δ δ ( δ ) ( δ ) δ δ סטיית התקן של החוזק של יציקה במחקר היא 0%. ההבדל בחוזק בין תערובות זהות שנוצקו בתאריכים שונים מגיע עד 7%. איור 0 מציג את הקשר בין סטיית התקן של מדידת החוזק לבין סטיית התקן של מקדם היעילות הפוצולני הטכנולוגי k המחושב מתוצאות החוזק. מתוך נתוני המחקר ניתן להעריך שסטיית התקן של k היא בין 7 ל- 00 אחוז.

35 סטיית תקן של k מחושב 00 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% סטיית תקן של מדידת החוזק איור 9: הקשר בין סטיית התקן של מדידת חוזק של תערובת בטון לבין סטיית התקן המתקבלת בחישוב מקדם היעילות הפוצולני הטכנולוגי k 1.1 מקדם היעילות במלטים )בדיקת )EN 450 בהשוואה ליעילות הנמדדת בבטונים במדידת היעילות הפוצולנית במדגמי מלט תקניים, המשמעות של 022% יעילות היא תפקוד שקול של ק"ג אפר לק"ג צמנט, או מקדם יעילות טכנולוגי k של 0. בהתחשב בתכולת אפר הפחם בבטונים שהוכנו במחקר זה, עבור יעילות זו יחס החוזק שצריך להתקבל בין בטון המכיל אפר לבטון ללא אפר הוא 000%. כאשר מקדם היעילות ע"פ EN 450 הוא 57%, הרי שלאפר הפחם לא הייתה כל תרומה לחוזק. במקרה כזה, מקדם היעילות הטכנולוגי k צריך להיות שווה ל- 2, ובתערובות הבטון שהוכנו במחקר זה, יחס החוזקים בין תערובת עם אפר לתערובת ללא אפר צריך לעמוד על 27%. התוצאות שונות מכך באופן משמעותי. עבור מקדמי יעילות בבדיקות תקניות במלטים, הנמוכים מ-, 57% היעילות המתקבלת בבטון גבוהה מהצפוי, ועבור ערכים גבוהים של מקדמי יעילות בבדיקות תקניות של מלטים )02-022%( היעילות המתקבלת בבטון נמוכה מהצפוי. )איוריםאיור 02 איור 00(. את הערכים הגבוהים יותר בבטון עבור מקדמי היעילות הנמוכים במלט ניתן להסביר באפקט מלאן, שהוא משמעותי יותר בבטון, וכנראה זניח במלט.

36 Relative Strength Efficiency coeficient k EN 450 CEM 1 7d CEM II 7d CEM I 14d CEM II 14d CEM I 28d CEM II 28d CEM I 90d regression line theoretical איור 11: מקדם היעילות האפקטיבי בבטון כנגד מקדם היעילות במלט ע"פ EN % 95% 90% 85% 80% 75% EN 450 CEM I 7d CEM II 7d CEM I 14d CEM II 14d CEM I 28d CEM II 28d CEM I 90d regression line theoretical איור 11: חוזק יחסי של תערובות בטון כנגד מקדם היעילות במלט ע"פ EN 450 באיור 02 ואיור 00 הפיזור הוא גדול ולא ניתן למצוא קשר חד משמעי בין היעילות התקנית הנקבעת במדגמי מלט וזו הנקבעת בבטון. באיור 00 מוצגות התוצאות שוב תוך אפיון הנקודות במדגמי האפר השונים. ניתן לראות שיש נטייה ברורה לערכים נמוכים יותר של בטונים שבהם האפר הוא מסוג.CALANTORITAS המשמעות היא שלמרות שלמדגמי אפר זה מקדם יעילות בבדיקת המלט התקנית שהוא קצת יותר נמוך משני מדגמי האפר האחרים, הרי בבטון הוא הרבה יותר נמוך.

37 Efficiency coeficient k Relative Strength % Relative strength vs. EN % 90% 85% 80% 75% EN 450 La Loma CEM I BB Prime CEM I Calantoritas CEM I La Loma CEM II BB Prime CEM II Calantoritas CEM II regression CEM I regression CEM II )א( 0.5 Efficiency coeficient k vs. EN % 75% 85% 95% 105% EN 450 La Loma CEM I BB Prime CEM I Calantoritas CEM I La Loma CEM II BB Prime CEM II Calantoritas CEM II regression CEM I regression CEM II )ב( איור 11: קשרים בין מקדמי היעילות בבדיקת המלט התקנית,,EN 450 ומקדמי היעילות בבטון. )א( חוזק יחסי. )ב( מקדם יעילות טכנולוגי. 1.5 קצב התפתחות החוזק התפתחות החוזק ניתנת לאומדן באמצעות משוואה שבה שני פרמטרים: קבוע זמן )τ( וחוזק סופי ( f f(, משוואה 00.

38 strength (Mpa) 00 משוואה 11 חוזק סופי, ו- τ קבוע זמן אופייני. מתוך התאמת פרמטרים של חוזק הבטון, t זמן, f f כאשר, f(t) משוואה 00 לתוצאות, ניתן למצוא את קבוע הזמן עבור כל אחת מהתערובות )איור 06( וכן גם את החוזק CEM II הסופי )איור 07(. באופן עקבי, קבוע הזמן עבור תערובות עם גדול ביום אחד לערך מקבוע הזמן 5.6 REF לתערובת המקבילה עם.CEM I לתערובות הייחוס קבוע הזמן הקצר ביותר )4.6 ימים ו- בהתאמה(, לתערובת REF 230 קבוע זמן ארוך יותר בכחצי יום, אחריהן התערובות עם מלאן גיר ואפר-פחם 0.5 La-Loma,Calantoritas אח"כ תערובות,BB-Prime ולבסוף תערובות קבוע זמן עם של עד יום מעבר לקבוע הזמן של תערובת הייחוס. החוזק הסופי גם הוא נמוך יותר באופן עקבי בתערובות עם,CEMII אך ההפרשים קטנים יחסית. כמו כן החוזק הסופי בתערובות עם האפר קטן מהחוזק הסופי של בטון הייחוס עם 052 ק"ג/מ"ק צמנט, אך גבוה בהרבה מהחוזק הסופי של בטון הייחוס עם 002 ק"ג/מ"ק צמנט. קבוע הזמן מייצג את האפקט הקינטי של האינטראקציה בין המלאן והצמנט והחוזק הסופי תלוי יותר במבנה הפנימי המתפתח. בשני המקרים, עבור שילוב נתון של אפר וצמנט, מתקבלת מגמה צפויה שקבוע הזמן ארוך יותר והחוזק הסופי גבוה יותר עבור שילוב של אפר פחם עם צמנט.CEMI מחושב Calantoritas time (days) איור 11 - החוזק שנמדד בפועל וחוזק מחשב על-פי משוואה 11, לתערובת הבטון.Calantoritas-1

39 Final Strength (Mpa) Characteristic time for 63% of final strength (days) איור 11 קבוע זמן אופייני להתפתחות החוזק, ע"פ משוואה 11, לתערובות השונות איור 15: החוזק הסופי על פי משוואה 11 לתערובות השונות מקדם היעילות בבטון )חוזק יחסי( מביא לידי ביטוי גם את השיפור שבנוכחות האפר יחסית לתערובות הבקרה, ומתוך הפרמטרים שבאיורים 00 ו- 06 ומשוואה 00 ניתן לחשב מקדם זה. התוצאות המוצגות באיור 07 מצביעות על מגמה מורכבת המשתנה על ציר הזמן. בתערובות עם אפר הפחם, המקדם גבוה יותר בגיל מוקדם בבטונים עם צמנט מסוג CEM II וזו כנראה תוצאה של אפקט מלאן ניכר יותר בבטונים אלה. אפקט המלאן מוצא את ביטויו בעיקר בגיל צעיר לפני שבא לידי ביטוי אפקט פוצולני משמעותי. ייתכן ופילוג החלקיקים הרחב יותר של צמנט מסוג CEM II וגודל החלקיקים הקטן יותר בו מאפשר אפקט מלאן יעיל יותר. עם התקדמות האשפרה מקדם היעילות במערכות עם צמנט מסוג CEM I עולה על זה של המערכות עם

40 06 BB PRIME CALANTORITAS LALOMA מסוג צמנט CEM II במדגמי אפר ו- בשעה שבאפר ההפרש בין המקדמים מצטמצם אך נשאר עדיין יתרון קטן למערכת עם צמנט מסוג.CEM II ככל הנראה, שינוי מגמה זה הוא פועל יוצא של אפקט מלאן גדול יותר במערכות עם צמנט מסוג.CEM II איור 16: מקדמי יעילות בבטון )חוזק יחסי( מחושבים לפי משוואה 11 ועבור הערכים האופייניים של קבוע הזמן והחוזק הסופי. על המורכבות של קשרי גומלין אלו ניתן לקבל היזון נוסף אם מחשבים את הפרמטרים היחסיים של חוזק הבטונים עם אפר ומלאנים יחסית לחוזק בטון בקרה עם 002 ק"ג/מ"ק צמנט אשר אליו הוספו חומרים אלה, איור 05 ואיור 02. מתוכם ניתן לראות שכל התוספות משפרות את החוזק הסופי )איור 02(, כאשר השיפור הגדול יותר הוא במדגמי אפר BB PRIME ו-.LALOMA קבועי הזמן גדולים יותר בבטון עם אפר ומלאן דבר המביא לידי ביטוי את העובדה שהתהליכים הגורמים לתוספת חוזק בנוכחות חומרים אלה איטיים יותר מאשר תהליכי ההידרציה של הצמנט. העובדה שהזמנים קצרים מאד במלאן הגירי קשורים כנראה בכך שהאפקט העיקרי שלו הוא אפקט מלאן, הבא לידי ביטוי בגיל מוקדם, להבדיל מאפקט פוצולני שנדרש זמן עבורו. בהשוואה בין הערכים האופיניים היחסיים, במערכות עם צמנטים מסוג,CEM II רואים CEM I ו שהחוזק הסופי איננו יותר נמוך ב-,CEMII בשעה שקבועי הזמן במערכות שלו הם קצת קצרים יותר.

41 Relative final strength Relative time constant איור 17: קבוע זמן אופייני יחסי להתפתחות החוזק )בטון עם אפר או מלאן יחסית לבטון בקרה עם 111 ק"ג/מ"ק צמנט(, ע"פ משוואה איור 18: חוזק סופי אופייני יחסי להתפתחות החוזק )בטון עם אפר או מלאן יחסית לבטון בקרה עם 111 ק"ג/מ"ק צמנט(, ע"פ משוואה 11 בדיון על אפקט מלאן יש להביא בחשבון שהוא תלוי לא רק באופי החלקיקים אלא גם בפילוג הגודל שלהם. אפקט המלאן כפי שנקבע ב טבלה 11 מבוסס על אמדן המתקבל מאפיון החוזק של תערובות עם מלאן אבן גיר. פילוג החלקיקים של מלאן זה מצומצם, והוא גדול יותר מאשר חלקיקי הצמנט, איור 00. לעומת זאת, פילוג החלקיקים של מדגמי האפר

42 passing (%) % in range 04 הוא רחב יותר ויש בו מרכיב ניכר של חלקיקים קטנים. לכן, ייתכן והאומדן של אפקט המלאן המתבסס על חוזקי בטונים עם מלאן אבן גיר איננו מייצגת כראוי את האפקט הזה בגרגירי אפר פחם אשר ייתכן והוא גדול יותר הודות לפילוג שלהם CEM I CEM II A-M/SLV BB Prime Avgil particle size (micron) CEM I CEM II A-M/SLV BB Prime Avgil particle size (micron) איור 19: פילוג גודל חלקיקים של שני הצמנטים, מלאן אבן גיר ואחד ממדגמי האפר

43 KT (10-16 m 2 ) קיים את ההתנהגות מנקודת מבט של קיים ניתן לאמוד מתוך פרמטרים של חדירות ובעבודה הנוכחית נקבעו לצורך כך ערכים של חדירות לאוויר וספיגות קפילרית, איורים איור 02 ו-איור 00. עבור שתי התכונות הערכים הנם נמוכים יותר עבור הבטונים המכילים אפר פחם, אך לא ניתן להצביע על יתרון בולט של אחד מסוגי האפר. יתרה מכך, ההקטנה בערכי החדירות איננה בסדר גודל המשנה באופן משמעותי את הקיים של המערכת לשינוי כזה דרושה הקטנה של לפחות 72% וזה לא המקרה כאן. ראוי לציין שתוצאות אלה התקבלו באשפרה תקנית שמשמעותה שרק בשבוע הראשון היו המדגמים בסביבה מימית. אלה אינם תנאים המתאימים למיצוי הריאקציה הפוצולנית ועל כן העובדה שלמרות זאת הייתה ירידה במקדמי החדירות מעידה על תרומה חיובית של האפר. באיורים 05 ו- 02 לא ניתן להבחין במגמה המפרידה בין תערובות שנעשו עם CEM I או.CEM II איור 11: מקדם חדירות אוויר, בדיקת טורנט

44 capilary absorption (gr/m 2 /hr 0.5 ) איור 11: ספיגות קפילרית 1.7 ניתוח תוצאות של בדיקות תקניות מתמשכות שבוצען במעבדות בדיקה בנוסף לבדיקות שנעשו ספציפית לצורך מחקר זה, נערך ניתוח של תוצאות שהתקבלו בבדיקות מתמשכות במעבדות בדיקה אשר נעשו עבור מנהלת אפר הפחם. הבדיקות כוללות בדיקות סדירות של אקטיביות פוצולנית לאורך שנים על-ידי איזוטופ, בדיקות אקטיביות פוצולנית של אפר פחם מהשנה האחרונה עם 0 סוגי צמנט שונים שנעשו על-ידי איזוטופ, ובדיקות של תערובות בטון שנעשו במכון התקנים. התוצאות של בדיקות אלה נותחו כאן במגמה לבחון אותן לאור המסקנות שהתקבלו במחקר הנוכחי. ניתוח של תוצאות אלו מוסיף נדבך לחיזוק המסקנות. תוצאות רב-שנתיות של אקטיביות פוצולנית הממוצעים וסטיות התקן של התוצאות הרב-שנתיות של האקטיביות הפוצולנית במלטים של שלושת סוגי האפר ששמשו במחקר הופיעו כבר באיור 6. מתוכו ניתן היה להסיק שהתכונות של אצוות אפר הפחם ששמשו למחקר הנוכחי אינן חורגות מהתוצאות המקובלות, ולכן ניתן להתייחס למדגמים כאל מדגמים מייצגים. לא ניתן להבחין בקשר בין חוזק מלט הבקרה )מלט מצמנט פורטלנד CEMI בלבד( לחוזק המתקבל במלט המכיל 07% אפר פחם מרחף ו- 57% צמנט פורטלנד )איור 00(. זוהי אינדיקציה לכך שחוזק הצמנט אינו משפיע על האקטיביות הפוצולנית. כאשר משרטטים את האקטיביות הפוצולנית כנגד חוזק מלט הבקרה )איור 00(, מתקבל קשר בין חוזק מלט הבקרה ומקדם האקטיביות הפוצולני רק עבור אפר פחם.La Loma LS עם- זאת, אם הקשר היה קשר מהותי, התלוי במנגנון בו חוזק צמנט הבקרה משפיע על האקטיביות של אפר הפחם, הרי שקשר כזה היה צריך להתקבל עבור כל סוג אפר פחם. נראה על פניו שאין תלות ברורה בין מקדם האקטיביות הפוצולנית של האפר ובין האקטיביות של הצמנט כפי שניתנת לאמדן מתוך חוזק מלט הבקרה.

45 Pozzolanic activity index control mortar 00 Strength at 90d (MPa) mortar with fly ash La Loma LS BB Prime Calantoritas איור 11: חוזק מלט בקרה, כנגד חוזק מלט המכיל 15% אפר פחם מרחף ו- 75% צמנט פורטלנד בבדיקת אקטיביות פוצולנית על-פי EN 450 pozzolanic activity index vs. CEM I control strength La Loma LS BB Prime Calantoritas control mortar strength (MPa) איור 11: אקטיביות פוצולנית כנגד חוזק מלט הבקרה בדיקות אקטיביות פוצולנית של אפר פחם עם 1 סוגי צמנט שונים בדיקות מקדם אקטיביות פוצולנית על-פי EN 450 נעשו עם 5 סוגי אפר פחם מרחף שונים, ושלושה סוגי צמנט 24 שונים. התוצאות עבור מקדם האקטיביות הפוצולנית בתלות בסוג הצמנט מוצגות באיור. ניתן לראות שעבור כל מדגמי האפר לא היה הבדל משמעותי במקדם האקטיביות בבדיקות עם סוגי הצמנט השונים, CEM I מתוצרת מקומית ומיבוא )לב ברון( ו- CEM II מתוצרת מקומית. כאשר יש הבדל, הוא מופיע בגיל 02 יום,

46 Pozzolanic activity index Pozzolanic activity index 62 והאקטיביות הגבוה יותר מתקבלת עבור CEM II מתוצרת מקומית. במחקר הנוכחי. המגמה הזו דומה לתוצאות שהתקבלו Newland d 28 d 60 d 90 d )א( Russian 7 d 28 d 60 d 90 d )ב( נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II

47 Pozzolanic activity index Pozzolanic activity index BB Prime 7 d 28 d 60 d 90 d נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II )ג( Calantoritas 7 d 28 d 60 d 90 d )ד( נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II

48 Pozzolanic activity index Pozzolanic activity index DMO 7 d 28 d 60 d 90 d )ה( GGV 7 d 28 d 60 d 90 d )ו( נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II

49 pozzolanic activity index Pozzolanic activity index La Loma 7 d 28 d 60 d 90 d )ז( La Loma MS 7 d 28 d 60 d 90 d )ח( נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II נשר CEM I לב ברון CEM I נשר CEM II איור : 24 האקטיביות הפוצולנית בגילאים שונים של 7 סוגי אפר פחם מרחף עם 1 סוגי צמנט: CEM I תוצרת נשר, CEM I מיובא ע"י לב ברון, ו- CEM II A/M-SLV תוצרת נשר 1. מסקנות אקטיבציה פוצולנית בבדיקות תקניות במלט לעומת אקטיבציה בפועל בבטון: לא נמצאה קורלציה ברורה בין האקטיבציה כפי שנקבעה בבדיקה התקנית במלט ובין האקטיבציה שהתקבלה בפועל בבטון. מדגם האפר שאופיין במקדם האקטיבציה הנמוך ביותר במלט היה אמנם החלש ביותר בבטון, אך ההבדלים בינו ובין האחרים בבדיקת המלט היו קטנים בעוד שבבטון הם היו גדולים..0

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים ( תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע

Διαβάστε περισσότερα

x = r m r f y = r i r f

x = r m r f y = r i r f דירוג קרנות נאמנות - מדד אלפא מול מדד שארפ. )נספחים( נספח א': חישוב מדד אלפא. מדד אלפא לדירוג קרנות נאמנות מוגדר באמצעות המשוואה הבאה: כאשר: (1) r i r f = + β * (r m - r f ) r i r f β - התשואה החודשית

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

התפלגות χ: Analyze. Non parametric test

התפלגות χ: Analyze. Non parametric test מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

Vcc. Bead uF 0.1uF 0.1uF

Vcc. Bead uF 0.1uF 0.1uF ריבוי קבלים תוצאות בדיקה מאת: קרלוס גררו. מחלקת בדיקות EMC 1. ריבוי קבלים תוצאות בדיקה: לקחנו מעגל HLXC ובדקנו את סינון המתח על רכיב. HLX מעגל הסינון בנוי משלוש קבלים של, 0.1uF כל קבל מחובר לארבע פיני

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח 1: סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר

שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח 1: סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר 20 0 79.80 78.50 75 שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח : סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר Score Valid Missing גודל מדגם חסרים מדד=

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

א הקיטסי ' טטסל אובמ רלדנ הינור בג '

א הקיטסי ' טטסל אובמ רלדנ הינור בג ' מבוא לסטטיסטיקה א' נדלר רוניה גב' מדדי פיזור Varablty Measures of עד עתה עסקנו במדדים מרכזיים. אולם, אחת התכונות החשובות של ההתפלגות, מלבד מיקום מרכזי, הוא מידת הפיזור של ההתפלגות. יכולות להיות מספר התפלגויות

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

תשובות לשאלות בפרק ד

תשובות לשאלות בפרק ד תשובות לשאלות בפרק ד עמוד 91: ( היבט מיקרוסקופי ) בהתחלה היו בכלי מולקולות של מגיבים בלבד, אשר התנגשו וכך נוצרו מולקולות מסוג חדש, מולקולות תוצר. קיום של מולקולות תוצר מאפשר התרחשות של תגובה הפוכה, בה

Διαβάστε περισσότερα

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי

Διαβάστε περισσότερα

שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר. Page 1 of 18

שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר. Page 1 of 18 שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר ה Page of 8 0x = 3x + שאלה פ תרו את המשוואה שלפניכם. x = תשובה: שאלה בבחירות למועצת תלמידים קיבל רן 300 קולות ונעמה קיבלה 500 קולות. מה היחס בין מספר הקולות שקיבל רן למספר

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

- הסקה סטטיסטית - מושגים

- הסקה סטטיסטית - מושגים - הסקה סטטיסטית - מושגים פרק נעסוק באכלוסיה שהתפלגותה המדויקת אינה ידועה. פרמטרים לא ידועים של ההתפלגות. מתקבלים מ"מ ב"ת ושווי התפלגות לשם כך,,..., סימון: התפלגות האכלוסיה תסומן בפרק זה המטרה לענות על

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=

s קמ קמש מ - A A מ - מ - 5 p vp v= את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

קורס: מבוא למיקרו כלכלה שיעור מס. 17 נושא: גמישויות מיוחדות ושיווי משקל בשוק למוצר יחיד

קורס: מבוא למיקרו כלכלה שיעור מס. 17 נושא: גמישויות מיוחדות ושיווי משקל בשוק למוצר יחיד גמישות המחיר ביחס לכמות= X/ Px * Px /X גמישות קשתית= X(1)+X(2) X/ Px * Px(1)+Px(2)/ מקרים מיוחדים של גמישות אם X שווה ל- 0 הגמישות גם כן שווה ל- 0. זהו מצב של ביקוש בלתי גמיש לחלוטין או ביקוש קשיח לחלוטין.

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

normally open (no) normally closed (nc) depletion mode depletion and enhancement mode enhancement mode n-type p-type n-type p-type n-type p-type

normally open (no) normally closed (nc) depletion mode depletion and enhancement mode enhancement mode n-type p-type n-type p-type n-type p-type 33 3.4 מודל ליניארי ומעגל תמורה לטרנזיסטורי אפקט שדה ישנם שני סוגים של טרנזיסטורי אפקט השדה: א ב, (ormally מבוסס על שיטת המיחסו( oe JFT (ormally oe המבוסס על שיטת המיחסור MOFT ו- MOFT המבוסס על שיטת העשרה

Διαβάστε περισσότερα

השאלות..h(k) = k mod m

השאלות..h(k) = k mod m מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן -

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן - פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 0 חודשי הולדת לכל ילד אפשרויות,לכן לכן - 0 A 0 מספר קומבינציות שלא מכילות את חודש תשרי הוא A) המאורע המשלים ל- B הוא "אף תלמיד לא נולד באחד מהחודשים אב/אלול",

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

SI 466 part 1 June Amendment No. 4. The Standards Institution of Israel. Concrete code: General principles. November 2016

SI 466 part 1 June Amendment No. 4. The Standards Institution of Israel. Concrete code: General principles. November 2016 SI 466 part 1 June 2003 Amendment No. 4 November 2016 תקן ישראלי ת"י 466 חלק 1 טבת התשס"ח יוני 2003 גיליון תיקון מס' 4 חשוון התשע"ז נובמבר 2016 חוקת הבטון: עקרונות כלליים Concrete code: General principles

Διαβάστε περισσότερα

ערה: הגזירה היא חלקית, כלומר גוזרים את התלות המפורשת של G ב ξ בלבד, ולא נהוג לסמן את קצב השינוי באנרגיה החופשית של גיבס בתגובה כך: G

ערה: הגזירה היא חלקית, כלומר גוזרים את התלות המפורשת של G ב ξ בלבד, ולא נהוג לסמן את קצב השינוי באנרגיה החופשית של גיבס בתגובה כך: G ה) יווי משקל ש תרגול כימי מידת התקדמות תגובה ; קצב שינוי באנרגיה החופשית של גיבס בתגובה ; קבוע ש"מ ;מנת ריאקציה אנרגיה חופשית של גיבס לערבוב ; עקרון לה שטלייה ; משוואת גיבס-הלמהולץ G G nrt ln n nrt lna,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב

בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב תנאי ראשון - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות 1) MRS = = שיווי המשקל של הצרכן - מציאת הסל האופטימלי = (, בסל רמת התועלת היא: ) = התועלת השולית של השקעת שקל (תועלת שולית של הכסף) שווה בין המוצרים

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים. T test for independent samples

מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים. T test for independent samples מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים T test for independent samples מטרת המבחן השוואת תוחלות של שתי אוכלוסיות. דוגמים מדגם מקרי מכל אוכלוסיה, באופן שאין תלות בין שני המדגמים ובודקים האם ההבדל שנמצא בין ממוצעי

Διαβάστε περισσότερα

69163) C [M] nm 50, 268 M cm

69163) C [M] nm 50, 268 M cm א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות

Διαβάστε περισσότερα

ןמנירג ןואל \ הקיטסיטטס הקיטסיטטסב הרזח ה יפד ךותמ 14 דו 1 מע

ןמנירג ןואל \ הקיטסיטטס הקיטסיטטסב הרזח ה יפד ךותמ 14 דו 1 מע עמוד מתוך 4 סטטיסטיקה תיאורית X- תצפית -f( שכיחות מספר פעמים שהתצפית חזרה על עצמה - גודל מדגם -F( שכיחות מצטברת ישנם שני סוגי מיון תצפיות משתנה בדיד סוג תצפית ספציפי.משתנה שכל ערכיו מספרים בודדים. משתנה

Διαβάστε περισσότερα

זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים

זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים מה חדש במעבדה? זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים מרק גלר, ישיבת בני עקיבא, נתניה אלכסנדר רובשטין, מכון דווידסון, רחובות מבוא גלים מכניים תופסים מקום חשוב בלימודי הפיזיקה בבית הספר. הנושא של גלים מכניים

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא.

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא. א. חוקיות. א( 1; ב( ; ג( השמיני; ד( ; ה( האיבר a שווה לפי - מיקומו בסדרה ; ו( = ;a ז( 9 = a ;.6 א( דוגמה: = a. +.7 א( =,1 + = 6 ;1 + ג( את המספר האחרון: הוא זה שמשתנה מתרגיל לתרגיל. 8. ב( 1 7 a, המספר

Διαβάστε περισσότερα

הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P...

הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P... שאלה תורת התורים קצב הגעת נוסעים לתחנת מוניות מפולג פואסונית עם פרמטר λ. קצב הגעת המוניות מפולג פואסונית עם פרמטר µ. אם נוסע מגיע לתחנה כשיש בה מוניות, הוא מייד נוסע במונית. אם מונית מגיעה לתחנה כשיש בתחנה

Διαβάστε περισσότερα

dspace זווית - Y מחשב מנוע ואנקודר כרטיס ו- driver

dspace זווית - Y מחשב מנוע ואנקודר כרטיס ו- driver ת : 1 ניסוי - מנוע מצביע מטרת הניסוי מטרת הניסוי היא לתרגל את הנושאים הבאים: זיהוי פונקציות תמסורת של מנועים חשמליים, בנית חוגי בקרה עבור מערכת המופעלת ע"י מנוע חשמלי עם דרישות כגון רוחב סרט, עודפי הגבר

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן

The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן .. The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן 03.01.16 . Factor Models.i = 1,..., n,r i נכסים, תשואות (משתנים מקריים) n.e[f j ] נניח = 0.j = 1,..., d,f j

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

EMC by Design Proprietary

EMC by Design Proprietary ערן פליישר אייל רוטברט הנדסה וניהול בע"מ eranf@rotbart-eng.com 13.3.15 בית ספר אלחריזי הגבלת החשיפה לקרינה של שדה מגנטי תכנון מיגון הקרינה תוכן העניינים כלליותכולה... 2 1. נתונים... 3 2. נתונימיקוםומידות...

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

ריאקציות כימיות

ריאקציות כימיות ריאקציות כימיות 1.5.15 1 הקדמה ריאקציה כימית היא תהליך שבו מולקולות (הנקראות מגיבים עוברות שינוי ויוצרות מולקולות אחרות (הנקראות תוצרים. הריאקציה יכולה להתרחש בשני הכיוונים. לפני ההגעה לשיווי משקל יהיה

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. זוויות צמודות

שיעור 1. זוויות צמודות יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש

Διαβάστε περισσότερα

{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת:

{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת: A A A = = A = = = = { A B} P{ A B} P P{ B} P { } { } { A P A B = P B A } P{ B} P P P B=Ω { A} = { A B} { B} = = 434 מבוא להסתברות ח', דפי נוסחאות, עמוד מתוך 6 חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית נוסחת

Διαβάστε περισσότερα

f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.

f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25. ( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α 5 + + = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, )

Διαβάστε περισσότερα

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת.

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת. דינמיקה כאשר אנו מנתחים תנועה של גוף במושגים של מיקום, מהירות ותאוצה כפי שעשינו עד כה, אנו מדלגים על ניתוח הכוחות הפועלים על הגוף. כוחות אלו ומסתו של הגוף הם אשר קובעים את תאוצתו. על מנת לקבל קשר בין הכוחות

Διαβάστε περισσότερα